🎢
一元二次不等式和一元二次方程是"亲兄弟"。方程是找"等于零的点"，不等式是找"大于零或小于零的区间"。画个抛物线图，一切就清楚了！
📐 一元二次不等式的解法（$a > 0$ 时）
$$ax^2 + bx + c = 0 \text{ 的两根为 } x_1 < x_2 \text{ 时：}$$ $$ax^2 + bx
+ c> 0 \Rightarrow x < x_1 \text{ 或 } x> x_2$$
$$ax^2 + bx + c < 0 \Rightarrow x_1 < x < x_2$$
核心思路：先求方程的根，再看不等式的方向 。大于零 （$> 0$）：抛物线在 x
轴上方 的部分 →
两根外侧 （"大于取两边"）小于零 （$< 0$）：抛物线在 x 轴
下方 的部分 →
两根中间 （"小于取中间"）"大于取两边，小于取中间" （前提是 $a >
0$）
📐 三种情况汇总（$a >
0$）
$$\Delta > 0 \text{（两个不等实根 } x_1 < x_2 \text{）：}$$
$$\quad> 0 \Rightarrow (-\infty, x_1) \cup (x_2,
+\infty)$$
$$\quad < 0 \Rightarrow (x_1, x_2)$$ $$\Delta=0
\text{（重根 } x_0 \text{）：}$$ $$\quad> 0
\Rightarrow x \neq x_0 \text{ 的所有实数}$$
$$\quad < 0 \Rightarrow \varnothing
\text{（无解）}$$ $$\Delta < 0
\text{（无实根）：}$$ $$\quad> 0 \Rightarrow
\mathbb{R} \text{（所有实数）}$$
$$\quad < 0 \Rightarrow \varnothing
\text{（无解）}$$
✏️
例题1 入门
解不等式：$x^2 - 5x + 6 > 0$
👀
查看解题步骤
第一步：先解方程
$x^2-5x+6=0$，因式分解
$(x-2)(x-3)=0$
第二步：两根
$x_1=2$，$x_2=3$
第三步：$a=1>0$，且是
$>0$，用"大于取两边"
✅ 答案：$x < 2$ 或
$x> 3$，即
$(-\infty,
2) \cup (3,
+\infty)$
✏️
例题2 入门
解不等式：$x^2 - 5x + 6 <
0$
👀
查看解题步骤
第一步：和上题一样，两根
$x_1=2$，$x_2=3$
第二步：$a=1>0$，且是
$
<0$，用"小于取中间"<
/div>
✅
答案：$2
< x <
3$，即
$(2,
3)$
✏️ 例题3 进阶
解不等式：$2x^2
+ 3x - 2
\leq 0$
👀
查看解题步骤
第一步：解方程
$2x^2+3x-2=0$
第二步：$\Delta=9+16=25$，$x=\dfrac{-3
\pm
5}{4}$
第三步：$x_1=\dfrac{-3-5}{4}=-2$，$x_2=\dfrac{-3+5}{4}=\dfrac{1}{2}$
第四步：$a=2>0$，$\leq
0$
→
"小于取中间"（含等号）
✅
答案：$-2
\leq
x
\leq
\dfrac{1}{2}$，即
$\left[-2,
\dfrac{1}{2}\right]$
✏️ 例题4 进阶
解不等式：$-x^2
+ 4x - 3
> 0$
👀
查看解题步骤
第一步：两边乘以
$-1$（不等号反转！）→
$x^2
-
4x
+
3
<
0$
第二步：解方程
$x^2-4x+3=0$，$(x-1)(x-3)=0$，$x_1=1,
x_2=3$
第三步：现在是
$a=1>0$，$
<0$ → "小于取中间"
✅
答案：$1
< x <
3$，即
$(1,
3)$
✏️
例题5
挑战
解不等式：$x^2
-
2x
+
1
>
0$
👀
查看解题步骤
第一步：$x^2-2x+1=(x-1)^2=0$，重根
$x_0=1$
第二步：$\Delta=0$，$(x-1)^2
\geq
0$
恒成立
第三步：$(x-1)^2
>
0$
在
$x
\neq
1$
时成立
✅
答案：$x
\neq
1$
的所有实数，即
$(-\infty,1)
\cup
(1,+\infty)$
🧪 第二章 ·
小测验
1.
已知
$a >
b$，下列一定成立的是？
A.
$-a
>
-b$
B.
$a
+
1
>
b
+
1$
C.
$a^2
>
b^2$
D.
$\dfrac{a}{b}
>
1$
💡
A：乘以
$-1$
要反转。B：两边加同一个数，不等号不变
✅。C：$a,b$
可能有负数。D：$b$
可能为负。
2.
解不等式
$3x
- 6
> 0$
的解集是？
A.
$x
<
2$
B.
$x
>
2$
C.
$x
>
-2$
D.
$x
<
-2$
💡
$3x
>
6$，$x
>
2$。除以正数3，不等号不变。
3.
解不等式
$-2x
\geq
8$
的解集是？
A.
$x
\geq
-4$
B.
$x
\leq
-4$
C.
$x
\geq
4$
D.
$x
\leq
4$
💡
两边除以
$-2$（负数！），不等号反转：$x
\leq
-4$。选A的同学忘了反转不等号！
4.
不等式组
$\begin{cases}
x >
1 \\
x >
4
\end{cases}$
的解集是？
A.
$x
>
1$
B.
$x
>
4$
C.
$1
< x <
4$
D.
无解
💡
同大取大！两个都是
$x
>$，取较大的
$x >
4$。
5.
不等式组
$\begin{cases}
x >
5 \\
x < 3
\end{cases}$
的解集是？
A.
$3
< x <
5$
B.
$x
>
5$
C.
$x
<
3$
D.
无解
💡
大大小小无解！$x$
不可能同时大于5又小于3。
6.
解不等式
$x^2
-
4x
+
3
>
0$
的解集是？
A.
$1
< x <
3$
B.
$x
< 1$ 或
$x>
3$
C.
$x
>
3$
D.
$x
<
1$
💡
方程
$x^2-4x+3=0$
的根为
$x=1,
x=3$。$a>0$
且
$>0$，"大于取两边"：$x
<1$ 或
$x>
3$。选A的同学用成了"小于取中间"！
7.
解不等式
$x^2
-
4x
+
3
< 0$
的解集是？
A.
$1
< x <
3$
B.
$x
< 1$ 或
$x>
3$
C.
$x
>
3$
D.
无解
💡
和上题同一个方程，根为1和3。$a>0$
且
$
<0$，"小于取中间"：$1
<
x
<
3$。
8.
解不等式
$-x^2
+
2x
+
3
>
0$
的解集是？
A.
$-1
< x <
3$
B.
$x
< -1$
或
$x>
3$
C.
$x
>
3$
D.
无解
💡
两边乘以
$-1$（反转！）→
$x^2-2x-3
< 0$。解方程
$(x+1)(x-3)=0$，根为
$-1$
和
$3$。$<0$
取中间：$-1
<
x
<
3$。
9.
不等式
$(x-1)^2
>
0$
的解集是？
A.
$x
>
1$
B.
所有实数
C.
$x
\neq
1$
的所有实数
D.
无解
💡
$(x-1)^2
\geq
0$
恒成立，等号在
$x=1$
时取到。所以
$(x-1)^2
>
0$
的解是
$x
\neq
1$。选B的同学忽略了
$x=1$
时等于0！
10.
不等式
$x^2
+
2x
+
5
< 0$
的解集是？
A.
所有实数
B.
$x
<
-1$
C.
$-5
< x <
1$
D.
无解（空集）
💡
$\Delta
=
4
-
20
=
-16
<
0$，方程无实根。$a=1>
0$，抛物线始终在
x
轴上方，即
$x^2+2x+5
>
0$
恒成立。所以
$
< 0$
无解。