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细菌每小时翻一倍：$1 \to 2 \to 4 \to 8 \to ...$，这就是指数增长 $y = 2^x$。反过来问"翻了几次才到1024？"就是对数：$\log_2 1024 = 10$。指数和对数是一对"互逆操作"。
📐 指数运算法则
$$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$$
$$\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$$
$$(a^m)^n = a^{mn}$$
$$a^0 = 1 \quad (a \neq 0)$$
$$a^{-n} = \frac{1}{a^n}$$
📐 指数函数
$$y = a^x \quad (a > 0, \; a \neq 1)$$
$$a > 1 \text{：递增（越来越大）}$$
$$0 < a < 1 \text{：递减（越来越小）}$$
$$\text{必过定点 } (0, 1)$$
📐 对数
$$a^b = N \iff \log_a N = b$$
$$\text{常用对数：} \lg N = \log_{10} N$$
$$\text{自然对数：} \ln N = \log_e N$$
对数就是"指数的逆运算"。$2^3 = 8$，反过来 $\log_2 8 = 3$（"2的几次方等于8？答：3次"）。
对数运算法则：
• $\log_a (MN) = \log_a M + \log_a N$
• $\log_a \dfrac{M}{N} = \log_a M - \log_a N$
• $\log_a M^n = n \log_a M$
• $\log_a a = 1$，$\log_a 1 = 0$
📐 对数函数
$$y = \log_a x \quad (a > 0, \; a \neq 1, \; x > 0)$$
$$a > 1 \text{：递增}$$
$$0 < a < 1 \text{：递减}$$
$$\text{必过定点 } (1, 0)$$
✏️ 例题1 入门
计算：$2^3 \times 2^2$，$\dfrac{3^5}{3^2}$，$(2^3)^2$
$2^3 \times 2^2 = 2^{3+2} = 2^5 = 32$
$\dfrac{3^5}{3^2} = 3^{5-2} = 3^3 = 27$
$(2^3)^2 = 2^{3 \times 2} = 2^6 = 64$
✅ 答案：$32$，$27$，$64$
✏️ 例题2 入门
求值：$\log_2 8$，$\log_3 27$，$\lg 100$，$\ln e^2$
$\log_2 8 = \log_2 2^3 = 3$
$\log_3 27 = \log_3 3^3 = 3$
$\lg 100 = \lg 10^2 = 2$
$\ln e^2 = 2 \ln e = 2$
✅ 答案：$3, 3, 2, 2$
✏️ 例题3 进阶
比较大小：$2^{0.3}$，$2^{0.5}$，$2^{-1}$
底数 $a = 2 > 1$，指数函数递增
指数越大，函数值越大：$-1 < 0.3 < 0.5$
✅ 答案：$2^{-1} < 2^{0.3} < 2^{0.5}$，即 $\dfrac{1}{2} < 2^{0.3} < \sqrt{2}$
✏️ 例题4 进阶
用对数运算法则化简：$\lg 2 + \lg 5$
$\lg 2 + \lg 5 = \lg(2 \times 5) = \lg 10 = 1$
✅ 答案：$1$
💡 $\lg 2 + \lg 5 = 1$ 是常考结论，建议记住！
✏️ 例题5 挑战
化简：$\lg 25 + \lg 4$
$\lg 25 + \lg 4 = \lg(25 \times 4) = \lg 100 = 2$
✅ 答案：$2$