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第四章 · 三角函数

从直角三角形出发，认识 sin、cos、tan 三兄弟 🔺

🔄 知识点一：角度与弧度

🎡 我们从小学就用"度"来量角（如 $90°$），但在高中数学中还有一种更方便的单位——"弧度"（rad）。就像长度可以用厘米也可以用米，角度也有两套单位。

📐 角度与弧度的互换 $$\pi \text{ rad} = 180°$$ $$1° = \frac{\pi}{180} \text{ rad}$$ $$1 \text{ rad} = \frac{180°}{\pi} \approx 57.3°$$

常用角度对照表（必须背熟！）：

角度	0°	30°	45°	60°	90°	180°	360°
弧度	$0$	$\dfrac{\pi}{6}$	$\dfrac{\pi}{4}$	$\dfrac{\pi}{3}$	$\dfrac{\pi}{2}$	$\pi$	$2\pi$

💡 记忆技巧：$30°,45°, 60°$ 对应分母$6, 4, 3$，分子都是 $\pi$。分母从大到小：$6 \to 4 \to 3$。

✏️ 例题1 入门

将 $120°$ 转换为弧度。

$120° = 120 \times \dfrac{\pi}{180} = \dfrac{120\pi}{180} = \dfrac{2\pi}{3}$

✅ 答案：$\dfrac{2\pi}{3}$ rad

✏️ 例题2 入门

将 $\dfrac{3\pi}{4}$ 转换为角度。

$\dfrac{3\pi}{4} = \dfrac{3\pi}{4} \times \dfrac{180°}{\pi} = \dfrac{3 \times 180°}{4} = 135°$

✅ 答案：$135°$

🔺 知识点二：三角函数的定义与特殊值

🏔️ 想象你站在一座山脚下（直角三角形）。$\sin$ 是"山有多高"（对边/斜边），$\cos$ 是"你走了多远"（邻边/斜边），$\tan$ 是"山有多陡"（对边/邻边）。

📐 直角三角形中的定义 $$\sin \theta = \frac{\text{对边}}{\text{斜边}} \qquad \cos \theta = \frac{\text{邻边}}{\text{斜边}} \qquad \tan \theta = \frac{\text{对边}}{\text{邻边}}$$

📐 单位圆定义 $$\text{角} \theta \text{ 终边与单位圆交点为 } P(x, y)$$ $$\sin \theta = y \qquad \cos \theta = x \qquad \tan \theta = \frac{y}{x}$$

特殊角的三角函数值（必须背！）

$\theta$	$0°$	$30°$	$45°$	$60°$	$90°$
$\sin\theta$	$0$	$\dfrac{1}{2}$	$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$	$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$	$1$
$\cos\theta$	$1$	$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$	$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$	$\dfrac{1}{2}$	$0$
$\tan\theta$	$0$	$\dfrac{\sqrt{3}}{3}$	$1$	$\sqrt{3}$	不存在

💡 背诵口诀（sin值）：$\dfrac{\sqrt{0}}{2}, \dfrac{\sqrt{1}}{2}, \dfrac{\sqrt{2}}{2}, \dfrac{\sqrt{3}}{2}, \dfrac{\sqrt{4}}{2}$，即根号下 $0,1,2,3,4$ 再除以 $2$。

📐 基本恒等式 $$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$$ $$\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}$$

✏️ 例题1 入门

求 $\sin 30° + \cos 60°$ 的值。

$\sin 30° = \dfrac{1}{2}$

$\cos 60° = \dfrac{1}{2}$

$\sin 30° + \cos 60° = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} = 1$

✅ 答案：$1$

✏️ 例题2 入门

求 $2\sin 45° \cdot \cos 45°$ 的值。

$\sin 45° = \cos 45° = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$

$2 \times \dfrac{\sqrt{2}}{2} \times \dfrac{\sqrt{2}}{2} = 2 \times \dfrac{2}{4} = 1$

✅ 答案：$1$

✏️ 例题3 进阶

已知 $\sin\theta = \dfrac{3}{5}$，$\theta$ 为第一象限角，求 $\cos\theta$ 和 $\tan\theta$。

由 $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$

$\cos^2\theta = 1 - \dfrac{9}{25} = \dfrac{16}{25}$

第一象限 $\cos\theta > 0$，所以 $\cos\theta = \dfrac{4}{5}$

$\tan\theta = \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta} = \dfrac{3/5}{4/5} = \dfrac{3}{4}$

✅ 答案：$\cos\theta = \dfrac{4}{5}$，$\tan\theta = \dfrac{3}{4}$

✏️ 例题4 进阶

求 $\sin 150°$ 的值。

$150° = 180° - 30°$，在第二象限

$\sin(180° - \theta) = \sin\theta$

$\sin 150° = \sin30° = \dfrac{1}{2}$

✅ 答案：$\dfrac{1}{2}$

🌊 知识点三：三角函数的图像与性质

🌊 $\sin x$ 的图像就像海浪一样，不停地上下波动。它有周期性（每 $2\pi$ 重复一次），有最高点和最低点。掌握图像的特征，很多题可以"看图说话"。

📐 正弦函数 $y = \sin x$ 的性质 $$\text{定义域：} \mathbb{R} \qquad \text{值域：} [-1, 1]$$ $$\text{周期：} T = 2\pi$$ $$\text{奇函数：} \sin(-x) = -\sin x$$

📐 余弦函数 $y = \cos x$ 的性质 $$\text{定义域：} \mathbb{R} \qquad \text{值域：} [-1, 1]$$ $$\text{周期：} T = 2\pi$$ $$\text{偶函数：} \cos(-x) = \cos x$$

📐 $y = A\sin(\omega x + \varphi)$ 的参数含义 $$A \text{：振幅（波浪的高度）}$$ $$\omega \text{：角频率，周期 } T = \frac{2\pi}{\omega}$$ $$\varphi \text{：初相（图像左右平移）}$$

$A$：决定最高点和最低点，最大值为 $A$，最小值为 $-A$。
$\omega$：$\omega$ 越大，波浪越"密"（周期越短）。
$\varphi$：$\varphi > 0$ 图像左移，$\varphi < 0$ 图像右移。

💡 考试中常考求周期：直接用 $T = \dfrac{2\pi}{\omega}$

✏️ 例题1 入门

函数 $y = \sin x$ 的最大值和最小值分别是多少？

$\sin x$ 的值域是 $[-1, 1]$

最大值为 $1$（在 $x = \dfrac{\pi}{2}$ 时取到）

最小值为 $-1$（在 $x = \dfrac{3\pi}{2}$ 时取到）

✅ 答案：最大值 $1$，最小值 $-1$

✏️ 例题2 进阶

求函数 $y = 3\sin(2x + \dfrac{\pi}{3})$ 的振幅、周期。

$A = 3$，振幅为 $3$（最大值3，最小值-3）

$\omega = 2$，周期 $T = \dfrac{2\pi}{\omega} = \dfrac{2\pi}{2} = \pi$

✅ 答案：振幅 $3$，周期 $\pi$

✏️ 例题3 进阶

求函数 $y = 2\sin x + 1$ 的值域。

$\sin x \in [-1, 1]$

$2\sin x \in [-2, 2]$

$2\sin x + 1 \in [-2+1, 2+1] = [-1, 3]$

✅ 答案：值域为 $[-1, 3]$

✏️ 例题4 挑战

函数 $y = \sin(2x - \dfrac{\pi}{6})$ 的单调递增区间是？

$\sin u$ 在 $-\dfrac{\pi}{2} + 2k\pi \leq u \leq \dfrac{\pi}{2} + 2k\pi$ 上递增

令 $u = 2x - \dfrac{\pi}{6}$

$-\dfrac{\pi}{2} + 2k\pi \leq 2x - \dfrac{\pi}{6} \leq \dfrac{\pi}{2} + 2k\pi$

$-\dfrac{\pi}{2} + \dfrac{\pi}{6} + 2k\pi \leq 2x \leq \dfrac{\pi}{2} + \dfrac{\pi}{6} + 2k\pi$

$-\dfrac{\pi}{3} + 2k\pi \leq 2x \leq \dfrac{2\pi}{3} + 2k\pi$

$-\dfrac{\pi}{6} + k\pi \leq x \leq \dfrac{\pi}{3} + k\pi$

✅ 答案：$\left[-\dfrac{\pi}{6}+k\pi, \; \dfrac{\pi}{3}+k\pi\right]$，$k \in \mathbb{Z}$

🧪 第四章 · 小测验

1. $60°$ 等于多少弧度？

💡 $60° = 60\times \dfrac{\pi}{180} = \dfrac{\pi}{3}$。

2. $\sin 30°$ 等于？

💡 特殊角必背：$\sin 30° = \dfrac{1}{2}$。

3. $\cos 60°$ 等于？

💡 $\cos 60° = \dfrac{1}{2}$。注意 $\sin 60° = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$，别搞混了！

4. $\tan 45°$ 等于？

💡 $\tan 45° = \dfrac{\sin 45°}{\cos 45°} = \dfrac{\sqrt{2}/2}{\sqrt{2}/2} = 1$。

5. 已知 $\sin\theta = \dfrac{4}{5}$，$\theta$ 为第一象限角，则 $\cos\theta$ 等于？

💡 $\cos^2\theta = 1 - \dfrac{16}{25} = \dfrac{9}{25}$，第一象限取正值 $\cos\theta = \dfrac{3}{5}$。

6. $\sin 150°$ 等于？

💡 $\sin 150° = \sin(180°-30°) = \sin 30° = \dfrac{1}{2}$。第二象限 sin 为正。

7. 函数 $y = \sin x$ 是？

💡 $\sin(-x) = -\sin x$，满足奇函数定义 $f(-x) = -f(x)$。

8. 函数 $y = 2\sin(3x)$ 的周期是？

💡 $T = \dfrac{2\pi}{\omega} = \dfrac{2\pi}{3}$。$\omega$ 越大周期越短。

9. 函数 $y = 3\sin x - 1$ 的最大值是？

💡 $\sin x$ 最大值为 $1$，所以 $y$ 最大值 $= 3 \times 1 - 1 = 2$。

10. $\sin^2 60° + \cos^2 60°$ 等于？

💡 这是基本恒等式 $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$，对任意角都成立！不用算具体值。

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