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第七章 · 直线与圆

用方程描述图形——解析几何入门 🎯

📐 知识点一：直线的方程

🛤️ 一条笔直的铁轨可以用一个方程来描述。斜率描述它有多"陡"，截距告诉我们它在哪里穿过坐标轴。掌握直线方程，就能精确定位任何一条直线！

📐斜率公式 $$k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \quad (x_1 \neq x_2)$$

💡 斜率就是"上升量÷ 前进量"。
· $k > 0$：直线从左下到右上（上坡）↗
· $k < 0$：直线从左上到右下（下坡）↘
· $k = 0$：水平线 →
· 斜率不存在：垂直线（$x_1 = x_2$）↑

📐 直线方程的常见形式 $$\text{斜截式：} y = kx + b$$ $$\text{点斜式：} y - y_0 = k(x - x_0)$$ $$\text{一般式：} Ax + By + C = 0$$

斜截式 $y = kx + b$：$k$ 是斜率，$b$ 是 $y$ 轴截距（直线穿过 $(0, b)$）。

点斜式：已知一个点 $(x_0, y_0)$ 和斜率 $k$ 时使用。

一般式：最万能的形式，任何直线都能写成这样（包括垂直线）。

⚠️ 垂直线（如 $x = 3$）没有斜率，不能写成斜截式！

✏️ 例题1 入门

求过点 $A(1, 2)$ 和 $B(3, 6)$ 的直线方程。

$k = \dfrac{6-2}{3-1} = \dfrac{4}{2} = 2$

用点斜式，取点 $A(1,2)$：$y - 2 = 2(x-1)$

$y = 2x$

✅ 答案：$y = 2x$

✏️ 例题2 入门

直线 $y = -3x + 5$ 的斜率和$y$ 轴截距分别是？

对照$y = kx + b$

斜率 $k = -3$，$y$ 轴截距 $b = 5$

✅ 答案：$k = -3$，$b = 5$

🔀 知识点二：两直线的位置关系

✂️ 两条直线要么平行（永远不相交）、要么相交（有一个交点）、要么重合（完全重叠）。判断它们的关系，只需看斜率！

📐 平行与垂直条件 $$l_1 \parallel l_2\iff k_1 = k_2 \text{（且不重合）}$$ $$l_1 \perp l_2 \iff k_1 \cdot k_2 = -1$$

💡 平行：斜率相等（坡度一样，当然不会交叉）。
💡 垂直：斜率之积为 $-1$（一条上坡、一条下坡，且刚好互为"负倒数"）。

例：$k_1=2$，则与之垂直的直线斜率 $k_2 = -\dfrac{1}{2}$。

📐 点到直线的距离 $$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$$ $$\text{点 } P(x_0, y_0) \text{ 到直线 } Ax + By + C = 0 \text{ 的距离}$$

💡 记忆口诀：点代入、取绝对、除以根下A²加B²。

✏️ 例题1 入门

判断 $l_1: y = 2x + 1$ 和 $l_2: y = 2x - 3$ 的位置关系。

$k_1 = 2$，$k_2 = 2$，$k_1 = k_2$

截距不同（$b_1 = 1 \neq b_2 = -3$），不重合

✅ 答案：$l_1 \parallel l_2$（平行）

✏️ 例题2 进阶

直线 $l_1: y = 3x + 1$，求与 $l_1$ 垂直的直线的斜率。

$k_1 = 3$

垂直条件：$k_1 \cdot k_2 = -1$

$k_2 = -\dfrac{1}{3}$

✅ 答案：垂直线的斜率为 $-\dfrac{1}{3}$

✏️ 例题3 进阶

求点 $P(1, 2)$ 到直线 $3x + 4y - 5= 0$ 的距离。

$A=3, B=4, C=-5$，$P(1,2)$

$d = \dfrac{|3\times1+4\times2-5|}{\sqrt{3^2+4^2}}$

$= \dfrac{|3+8-5|}{\sqrt{9+16}} = \dfrac{|6|}{\sqrt{25}} = \dfrac{6}{5}$

✅ 答案：$d = \dfrac{6}{5} = 1.2$

⭕ 知识点三：圆的方程

🎯 圆就是"到一个固定点（圆心）距离相等（半径）的所有点的集合"。知道圆心和半径，就能写出圆的方程！

📐 圆的标准方程 $$(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$$ $$\text{圆心 } C(a, b)\text{，半径 } r$$

📐 圆的一般方程 $$x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$$ $$\text{圆心}\left(-\frac{D}{2},\ -\frac{E}{2}\right)\text{，半径} r = \frac{1}{2}\sqrt{D^2+E^2-4F}$$

💡 标准方程 → 一般方程：展开即可。
💡 一般方程 → 标准方程：配方！

⚠️ 一般方程表示圆的条件：$D^2+E^2-4F > 0$

✏️ 例题1 入门

写出圆心 $C(2, -1)$、半径 $r = 3$ 的圆的方程。

代入标准方程：$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$

$(x-2)^2+(y+1)^2=9$

✅ 答案：$(x-2)^2+(y+1)^2=9$

✏️ 例题2 进阶

求$x^2+y^2-4x+6y+4=0$ 的圆心和半径。

配方 $x$：$x^2-4x = (x-2)^2-4$

配方 $y$：$y^2+6y = (y+3)^2-9$

$(x-2)^2 -4 + (y+3)^2 - 9 + 4 = 0$

$(x-2)^2 + (y+3)^2 = 9$

圆心 $(2, -3)$，半径 $r = 3$

✅ 答案：圆心 $(2,-3)$，$r=3$

✏️ 例题3 进阶

圆 $x^2+y^2-2x+4y-4=0$，用公式法求圆心和半径。

$D=-2,\ E=4,\ F=-4$

圆心 $= \left(-\dfrac{-2}{2},\ -\dfrac{4}{2}\right) = (1, -2)$

$r = \dfrac{1}{2}\sqrt{4+16+16} = \dfrac{1}{2}\sqrt{36} = 3$

✅ 答案：圆心 $(1,-2)$，$r=3$

🎯 知识点四：直线与圆的位置关系

🏀 把圆想象成一个篮球框，直线是投球路线：
· 球飞过框外（相离）：$d > r$
· 球刚好擦框（相切）：$d = r$
· 球穿过框（相交）：$d < r$

📐 判断方法：圆心到直线的距离 $d$ 与半径 $r$ 的比较 $$d > r \implies \text{相离（无交点）}$$ $$d = r \implies \text{相切（1个交点）}$$ $$d < r \implies \text{相交（2个交点）}$$

💡 步骤：① 找圆心和半径 → ② 用点到直线距离公式算 $d$ → ③ 比较 $d$ 和 $r$。

✏️ 例题1 进阶

判断直线 $3x+4y-15=0$ 与圆 $x^2+y^2=9$ 的位置关系。

圆心 $O(0,0)$，$r=3$

$d = \dfrac{|3\times0+4\times0-15|}{\sqrt{9+16}} = \dfrac{15}{5} = 3$

$d = r = 3$

✅ 答案：相切（有1个切点）

✏️ 例题2 进阶

判断直线 $x - y + 1 = 0$ 与圆 $(x-1)^2+(y-1)^2=4$ 的位置关系。

圆心 $C(1,1)$，$r = 2$

$d = \dfrac{|1-1+1|}{\sqrt{1+1}} = \dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \approx 0.707$

$d = \dfrac{\sqrt{2}}{2} < r = 2$

✅ 答案：相交（有2个交点）

✏️ 例题3 挑战

求圆 $x^2+y^2=5$ 过点 $P(1,2)$ 的切线方程。

先验证 $P$ 在圆上：$1^2+2^2=5$ ✓

圆心 $O(0,0)$，$OP$ 的斜率 $k_{OP}=\dfrac{2}{1}=2$

切线 $\perp OP$，所以切线斜率 $k = -\dfrac{1}{2}$

切线过$P(1,2)$：$y-2=-\dfrac{1}{2}(x-1)$

$y = -\dfrac{1}{2}x + \dfrac{5}{2}$，即 $x+2y-5=0$

✅ 答案：$x+2y-5=0$

🧪 第七章 · 小测验

1. 过点 $(1,3)$ 和 $(3,7)$ 的直线斜率是？

💡 $k = \dfrac{7-3}{3-1} = \dfrac{4}{2} = 2$。

2. 直线 $y = -2x + 3$ 的 $y$ 轴截距是？

💡 $y = kx + b$，$b = 3$ 即 $y$ 轴截距。

3. 与$y = 3x + 1$ 平行的直线，斜率是？

💡 平行 →斜率相等，$k = 3$。

4. 与 $y =2x - 5$ 垂直的直线，斜率是？

💡 垂直 → $k_1 \cdot k_2 = -1$，$k_2 = -\dfrac{1}{2}$。

5. 圆 $(x-1)^2+(y+2)^2=16$ 的圆心和半径？

💡 $(x-1)^2 → a=1$，$(y+2)^2=(y-(-2))^2 → b=-2$，$r^2=16 → r=4$。

6. 点 $(0,0)$ 到直线 $3x+4y-10=0$ 的距离是？

💡 $d=\dfrac{|0+0-10|}{\sqrt{9+16}}=\dfrac{10}{5}=2$。

7. 圆 $x^2+y^2=25$ 的圆心和半径？

💡 $(x-0)^2+(y-0)^2=25$，圆心原点，$r=\sqrt{25}=5$。

8. 直线 $x+y-6=0$ 与圆 $x^2+y^2=9$ 的位置关系？

💡 圆心 $(0,0)$，$r=3$。$d=\dfrac{|0+0-6|}{\sqrt{2}}=\dfrac{6}{\sqrt{2}}=3\sqrt{2}\approx 4.24 > 3=r$，相离。

9. 过原点且斜率为 $-1$ 的直线方程是？

💡 过原点 → $b=0$，$k=-1$，所以 $y=-x$。

10. 直线 $x = 5$ 的斜率是？

💡 $x=5$ 是一条垂直线（竖线），斜率不存在！只有水平线斜率才为 $0$。

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