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第八章 · 概率与统计

用数字衡量"可能性"——生活中处处有概率 🍀

统计基础概率基础古典概型概率计算

📊 知识点一：统计基础

📋 统计就是"用数据说话"。全班同学的身高数据，怎么用几个数字来概括？这就需要平均数、中位数、众数和方差。

📐 平均数 $$\bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i$$

💡 就是所有数据加起来除以个数，反映数据的"中心水平"。

📐 中位数 $$\text{把数据从小到大排列，正中间那个数就是中位数}$$ $$\text{偶数个数据时，中位数 = 中间两个数的平均值}$$

📐 众数 $$\text{出现次数最多的那个数}$$

📐 方差与标准差 $$S^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2$$ $$\text{标准差 } S = \sqrt{S^2}$$

💡 方差衡量数据的"分散程度"：
· 方差越大 → 数据越分散（波动大）
· 方差越小 → 数据越集中（稳定）

🎯 考试常考：两组数据谁更稳定？→ 比较方差，方差小的更稳定！

✏️ 例题1 入门

数据 $3, 5, 7, 5, 10$，求平均数、中位数和众数。

平均数：$\bar{x} = \dfrac{3+5+7+5+10}{5} = \dfrac{30}{5} = 6$

排序：$3, 5, 5, 7, 10$，中位数 = $5$（正中间）

$5$ 出现了 $2$ 次，最多 → 众数 = $5$

✅ 答案：平均数 $6$，中位数 $5$，众数 $5$

✏️ 例题2 进阶

甲射击成绩：$9, 10, 8, 10, 8$；乙射击成绩：$10, 9, 9, 9, 8$。谁更稳定？

$\bar{x}_甲 = \dfrac{9+10+8+10+8}{5} = \dfrac{45}{5} = 9$

$\bar{x}_乙 = \dfrac{10+9+9+9+8}{5} = \dfrac{45}{5} = 9$

$S^2_甲 = \dfrac{(9-9)^2+(10-9)^2+(8-9)^2+(10-9)^2+(8-9)^2}{5}$

$= \dfrac{0+1+1+1+1}{5} = \dfrac{4}{5} = 0.8$

$S^2_乙 = \dfrac{(10-9)^2+(9-9)^2+(9-9)^2+(9-9)^2+(8-9)^2}{5}$

$= \dfrac{1+0+0+0+1}{5} = \dfrac{2}{5} = 0.4$

$S^2_乙 < S^2_甲$，乙更稳定

✅ 答案：乙更稳定（方差更小）

🎯 知识点二：概率基础概念

🎰 明天下雨的概率是 $60\%$ ——概率就是用一个$0$ 到 $1$ 之间的数来衡量某件事发生的可能性大小。$0$ = 不可能发生，$1$ = 一定发生。

📐 基本概念 $$0 \leq P(A) \leq 1$$ $$P(\text{必然事件}) = 1$$ $$P(\text{不可能事件}) = 0$$

随机试验：结果不确定的实验（如掷骰子）。
样本空间 $\Omega$：所有可能结果的集合。
事件：样本空间的子集。

💡 掷骰子的样本空间：$\Omega = \{1,2,3,4,5,6\}$
"掷出偶数"这个事件：$A = \{2,4,6\}$

📐 对立事件 $$P(\bar{A}) = 1 - P(A)$$

💡 "$A$ 不发生"的概率 = $1$减去"$A$ 发生"的概率。
例：掷骰子，掷出$6$的概率 = $\dfrac{1}{6}$，掷不出$6$的概率 = $1-\dfrac{1}{6}=\dfrac{5}{6}$。

🎯 技巧：题目说"至少一个…"时，用对立事件更简单！
$P(\text{至少一个}) = 1 - P(\text{一个都没有})$

🎲 知识点三：古典概型

🪙 如果每种结果出现的可能性都相等（等可能性），就叫古典概型。掷硬币、掷骰子、从袋子里摸球……都是古典概型！

📐 古典概型公式 $$P(A) = \frac{\text{事件A包含的基本事件数}}{\text{基本事件总数}} = \frac{m}{n}$$

💡 三步走：
① 列出所有可能结果（总数 $n$）
② 数出满足条件的结果（$m$ 个）
③ $P = \dfrac{m}{n}$

⚠️ 前提条件：每个基本事件出现的概率相等！

✏️ 例题1 入门

掷一个骰子，求掷出点数大于 $4$ 的概率。

样本空间：$\{1,2,3,4,5,6\}$，共 $6$ 个

点数大于 $4$：$\{5,6\}$，共 $2$ 个

$P = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}$

✅ 答案：$P = \dfrac{1}{3}$

✏️ 例题2 入门

袋中有 $3$ 个红球、$2$ 个白球，随机摸一个，求摸到红球的概率。

总球数：$3+2=5$

红球数：$3$

$P(\text{红球})=\dfrac{3}{5}$

✅ 答案：$P = \dfrac{3}{5}$

✏️ 例题3 进阶

同时掷两个骰子，求点数之和为 $7$ 的概率。

总共$6 \times 6 = 36$ 种等可能结果

和为 $7$ 的组合：$(1,6)(2,5)(3,4)(4,3)(5,2)(6,1)$

共$6$ 种

$P = \dfrac{6}{36} = \dfrac{1}{6}$

✅ 答案：$P = \dfrac{1}{6}$

✏️ 例题4 进阶

从$1,2,3,4,5$ 中随机取 $2$ 个数，求两数之和为偶数的概率。

总共取法：$C_5^2 = \dfrac{5!}{2!3!} = 10$ 种

和为偶数 →两个都是奇数或两个都是偶数

奇数有 $\{1,3,5\}$，取2个：$C_3^2 = 3$ 种

偶数有 $\{2,4\}$，取2个：$C_2^2 = 1$ 种

满足条件：$3+1=4$ 种

$P = \dfrac{4}{10} = \dfrac{2}{5}$

✅ 答案：$P = \dfrac{2}{5}$

🧮 知识点四：概率计算技巧

🔗 多个事件同时或分别发生时，概率怎么算？互斥用加法，独立用乘法——这就是概率计算的两大法宝！

📐 互斥事件（加法公式） $$\text{A和B不能同时发生（互斥）：}$$ $$P(A \cup B) = P(A) + P(B)$$

💡 掷骰子：掷出 $1$ 和掷出 $2$ 不能同时发生 → 互斥
$P(\text{掷出1或2}) = \dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{6}=\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}$

📐 独立事件（乘法公式） $$\text{A和B互不影响（独立）：}$$ $$P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$$

💡 掷两次骰子：第一次的结果不影响第二次 → 独立
$P(\text{两次都掷出6}) = \dfrac{1}{6}\times\dfrac{1}{6}=\dfrac{1}{36}$

🎯 口诀：分步用乘（且），分类用加（或）。

📐 对立事件的妙用 $$P(\text{至少一次}) = 1 - P(\text{一次都没有})$$

✏️ 例题1 入门

甲命中目标的概率为 $0.6$，乙命中的概率为 $0.5$，两人各射一次，求都命中的概率。

甲乙互不影响 → 独立事件，用乘法

$P(\text{都命中}) = 0.6 \times 0.5 = 0.3$

✅ 答案：$P = 0.3$

✏️ 例题2 进阶

甲命中概率 $0.6$，乙命中概率 $0.5$，各射一次，求至少一人命中的概率。

用对立事件："至少一人命中"的对立是"都没命中"

$P(\text{甲不中})=1-0.6=0.4$

$P(\text{乙不中})=1-0.5=0.5$

$P(\text{都不中})=0.4 \times 0.5 = 0.2$

$P(\text{至少一人命中})=1-0.2=0.8$

✅ 答案：$P = 0.8$

✏️ 例题3 挑战

某产品合格率为 $0.9$，从中随机抽取 $3$ 件，求恰好有 $2$ 件合格的概率。

合格概率 $p=0.9$，不合格 $q=0.1$

$3$ 件中恰好 $2$ 件合格：$C_3^2 \cdot p^2 \cdot q^1$

$= 3 \times 0.9^2 \times 0.1$

$= 3 \times 0.81 \times 0.1 = 0.243$

✅ 答案：$P = 0.243$

🧪 第八章 · 小测验

1. 数据$2, 3, 3, 5, 7$ 的众数是？

💡 $3$ 出现了 $2$ 次，最多，所以众数是 $3$。

2. 数据 $1, 3, 5, 7$ 的中位数是？

💡 偶数个数据，中位数 =中间两个数的平均 = $\dfrac{3+5}{2} = 4$。

3.掷一个骰子，掷出偶数的概率是？

💡 偶数 $\{2,4,6\}$，$3$ 个，$P=\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}$。

4. 某事件概率为 $0.3$，其对立事件的概率是？

💡 $P(\bar{A}) = 1 - P(A) = 1 - 0.3 = 0.7$。

5. 两个独立事件 $A$、$B$，$P(A)=0.4$，$P(B)=0.5$，则 $P(AB)$ 等于？

💡 独立事件，$P(AB)=P(A)\times P(B)=0.4\times0.5=0.2$。

6. 袋中有 $4$ 红、$6$ 白球，摸一个是白球的概率？

💡 $P=\dfrac{6}{4+6}=\dfrac{6}{10}=\dfrac{3}{5}$。

7. 方差越大，说明数据？

💡 方差衡量分散程度，方差越大= 越分散 = 波动越大。

8. 同时掷两枚硬币，至少一枚正面朝上的概率？

💡 用对立事件：$P(\text{都反面})=\dfrac{1}{2}\times\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{4}$，$P(\text{至少一正})=1-\dfrac{1}{4}=\dfrac{3}{4}$。

9. $1,2,3,4,5$ 的平均数是？

💡 $\bar{x}=\dfrac{1+2+3+4+5}{5}=\dfrac{15}{5}=3$。

10. 互斥事件 $A$、$B$，$P(A)=0.3$，$P(B)=0.4$，则 $P(A\cup B)$？

💡 互斥用加法：$P(A\cup B)=P(A)+P(B)=0.3+0.4=0.7$。

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