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第九章 · 立体几何初步

从平面走向空间——认识三维世界的形状🏗️

🧊 知识点一：空间几何体的认识

📦 快递箱是长方体，冰淇淋蛋筒是圆锥，易拉罐是圆柱，篮球是球——生活中到处都是立体图形！高职高考主要考查这些基本几何体的表面积和体积。

常见几何体分类：

🔷 棱柱：上下两个底面平行且全等，侧面是平行四边形
· 特例：长方体、正方体、三棱柱、四棱柱…

🔷 棱锥：一个底面，其余面是三角形，汇聚到一个顶点
· 特例：三棱锥（四面体）、四棱锥（金字塔形）…

🔵 圆柱：两个平行的圆形底面 + 侧面展开是矩形
🔵 圆锥：一个圆形底面 + 一个顶点，侧面展开是扇形
🔵 球：到定点距离相等的所有点组成的图形

⚠️ 考试中，画立体图形通常用斜二测画法（了解即可）。

📐 知识点二：表面积公式

🎁 给一个礼物盒包装纸——需要多少纸？这就是求表面积！表面积 = 所有表面面积之和。

📐 长方体 $$S = 2(ab + bc + ac)$$ $$\text{长} a\text{，宽 } b\text{，高 } c$$

📐 正方体 $$S = 6a^2$$ $$\text{棱长为 } a$$

📐 圆柱 $$S = 2\pi r^2 + 2\pi r h$$ $$\text{（两个底面 + 侧面展开的矩形）}$$

💡 圆柱侧面展开是一个矩形，长= 底面周长 $2\pi r$，宽 = 高 $h$。
所以侧面积 = $2\pi rh$。

📐 圆锥 $$S = \pi r^2 + \pi r l$$ $$\text{底面半径 } r\text{，母线长 } l$$

💡 圆锥侧面展开是一个扇形，面积 = $\pirl$。
母线 $l$ 就是从顶点到底面圆周的斜边，$l = \sqrt{r^2+h^2}$。

📐 球 $$S = 4\pi R^2$$ $$\text{半径为 } R$$

✏️ 例题1 入门

求棱长为 $3$ 的正方体的表面积。

$S = 6a^2 = 6 \times 3^2 = 6 \times 9 = 54$

✅ 答案：$S = 54$

✏️ 例题2 入门

求底面半径 $r=2$，高 $h=5$ 的圆柱的侧面积。

侧面积 $= 2\pi rh = 2\pi \times 2 \times 5 = 20\pi$

✅ 答案：侧面积 $= 20\pi$

✏️ 例题3 进阶

圆锥底面半径 $r=3$，高 $h=4$，求全面积。

母线 $l=\sqrt{r^2+h^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$

底面积 $= \pi r^2 = 9\pi$

侧面积 $= \pirl = \pi\times3\times5= 15\pi$

全面积 $= 9\pi+15\pi = 24\pi$

✅ 答案：$S = 24\pi$

✏️ 例题4 入门

求半径 $R=3$ 的球的表面积。

$S = 4\pi R^2 = 4\pi \times 9 = 36\pi$

✅ 答案：$S = 36\pi$

📏 知识点三：体积公式

🥛 一个杯子能装多少水？这就是体积——空间中一个物体所占的大小。体积公式是高考高频考点，必须熟记！

📐 长方体 $$V = abc$$ $$\text{长 } a\text{，宽 } b\text{，高 } c$$

📐 正方体 $$V = a^3$$

📐 棱柱 / 圆柱 $$V = Sh$$ $$\text{底面积 } S \text{，高 } h$$ $$\text{圆柱：} V = \pi r^2 h$$

📐 棱锥 / 圆锥 $$V = \frac{1}{3}Sh$$ $$\text{圆锥：} V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$$

💡 超级重要：锥体体积 = 柱体体积 × $\dfrac{1}{3}$！
同样的底面和高，锥体只有柱体的三分之一。
记忆：柱体 → $Sh$，锥体 → $\dfrac{1}{3}Sh$。

📐 球 $$V = \frac{4}{3}\pi R^3$$

💡 球的公式记忆：表面积 $4\pi R^2$（"四拍啊平方"），体积 $\dfrac{4}{3}\pi R^3$（"三分之四拍啊立方"）。

✏️ 例题1 入门

求底面半径 $r=3$，高 $h=4$ 的圆柱体积。

$V = \pi r^2 h = \pi \times 9 \times 4 = 36\pi$

✅ 答案：$V = 36\pi$

✏️ 例题2 入门

求底面半径 $r=3$，高 $h=4$ 的圆锥体积。

$V = \dfrac{1}{3}\pi r^2 h = \dfrac{1}{3}\pi\times9\times4 = 12\pi$

✅ 答案：$V = 12\pi$（正好是上题圆柱的$\dfrac{1}{3}$！）

✏️ 例题3 进阶

一个半径为 $R=3$ 的球，求体积。

$V = \dfrac{4}{3}\pi R^3 = \dfrac{4}{3}\pi\times27 = 36\pi$

✅ 答案：$V = 36\pi$

✏️ 例题4 挑战

正三棱柱的底面是边长为 $2$ 的等边三角形，高为 $3$，求体积。

底面为等边三角形，面积 $S = \dfrac{\sqrt{3}}{4}a^2 = \dfrac{\sqrt{3}}{4}\times4= \sqrt{3}$

棱柱体积 $V = Sh = \sqrt{3}\times3 = 3\sqrt{3}$

✅ 答案：$V = 3\sqrt{3}$

🔗 知识点四：空间中的位置关系

🏠 想象你在一个房间里：地板和天花板平行，地板和墙壁垂直，两面相邻的墙相交。空间中的直线和平面有各种位置关系，高考重点考平行和垂直的判断。

🔹 直线与直线：
· 平行、相交、异面（空间特有！既不平行也不相交）

🔹 直线与平面：
· 直线在平面内、平行、相交（特别地，垂直）

🔹 平面与平面：
· 平行、相交（特别地，垂直）

📐 线面平行判定定理 $$\text{平面外一条直线与平面内一条直线平行}$$ $$\implies \text{该直线与平面平行}$$

💡 口诀："线线平行 → 线面平行"
关键：一条在面外，一条在面内，它们平行 → 外面那条和整个平面平行。

📐 线面垂直判定定理 $$\text{一条直线与平面内两条相交直线都垂直}$$ $$\implies \text{该直线与平面垂直}$$

💡 口诀："垂直两条相交线 → 垂直整个面"
注意必须是"相交"的两条线，平行的两条不行！

📐 面面平行判定定理 $$\text{一个平面内两条相交直线分别平行于另一个平面}$$ $$\implies \text{两平面平行}$$

📐 面面垂直判定定理 $$\text{一个平面过另一个平面的一条垂线}$$ $$\implies \text{两平面垂直}$$

✏️ 例题1 入门

正方体 $ABCD$-$A_1B_1C_1D_1$ 中，$AB_1$ 与 $CD_1$ 的位置关系是？

$AB_1$ 在正方体的一条面对角线方向

$CD_1$ 在对面的面对角线方向，方向相同

但两线既不相交也不在同一平面内

$AB_1 \parallel CD_1$（平行）

✅ 答案：平行

✏️ 例题2 进阶

正方体 $ABCD$-$A_1B_1C_1D_1$ 中，判断对角线 $AC_1$ 与底面 $ABCD$ 的关系。

$A$ 在底面上，$C_1$ 在上面

$AC_1$ 穿过底面（通过点 $A$），不平行

$AC_1$ 与底面的夹角不是 $90°$，不垂直

✅ 答案：$AC_1$ 与底面$ABCD$ 相交（斜交）

✏️ 例题3 进阶

在正方体中，$AA_1\perp$ 底面 $ABCD$ 吗？为什么？

底面内有 $AB$ 和 $AD$，它们在$A$ 点相交

正方体中$AA_1 \perp AB$，$AA_1 \perp AD$

$AA_1$ 垂直于面内两条相交直线 → 线面垂直判定定理

✅ 答案：是，$AA_1 \perp$ 底面 $ABCD$

🧪 第九章 · 小测验

1. 棱长为 $2$ 的正方体的体积是？

💡 $V = a^3 = 2^3 = 8$。

2. 棱长为 $2$ 的正方体的表面积是？

💡 $S = 6a^2 = 6\times4 = 24$。

3. 圆柱底面半径 $r=2$，高 $h=3$，体积是？

💡 $V = \pi r^2 h = \pi\times4\times3 = 12\pi$。

4. 圆锥底面半径 $r=3$，高 $h=6$，体积是？

💡 $V = \dfrac{1}{3}\pi r^2 h = \dfrac{1}{3}\pi\times9\times6 = 18\pi$。别忘了$\dfrac{1}{3}$！

5. 半径为 $2$ 的球的表面积是？

💡 $S = 4\pi R^2 = 4\pi\times4= 16\pi$。

6. 半径为 $2$ 的球的体积是？

💡 $V = \dfrac{4}{3}\pi R^3 = \dfrac{4}{3}\pi\times8= \dfrac{32}{3}\pi$。

7. 圆锥底面半径 $r=3$，高 $h=4$，母线长是？

💡 $l = \sqrt{r^2+h^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5$。3-4-5！

8. 锥体体积与同底同高柱体体积的关系？

💡 锥体 = $\dfrac{1}{3}Sh$，柱体 = $Sh$，所以锥体是柱体的 $\dfrac{1}{3}$。

9. 线面垂直判定定理的条件是？

💡 必须是面内"两条相交直线"，垂直平行的两条线不能保证线面垂直。

10. 长方体长 $3$、宽 $4$、高 $5$，体积是？

💡 $V = abc = 3\times4\times5 = 60$。（$94$ 是表面积哦！$2(12+20+15)=94$）

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